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GMAT数学备考:离散概率考点解析

2016-02-26 14:48:00  来源:  【
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众所周知,中国考生很容易在GMAT数学部分取得高分甚至是满分,这主要归功于中国教育体系中数学教育的基础扎实。对绝大部分学生来说,GMAT 数学部分的考点几乎都是小学数学和初中数学中比较简单的知识点,只有极少部分的知识涉及到高中数学。但笔者却认为这是一把双刃剑,因为笔者在教学过程中经常会发现,很多数学基础比较优异的学生主观上认为GMAT 数学很简单,因而完全不去复习数学,但是针对GMAT 考试中某一些数学中的知识点,他们已经遗忘或者就不曾学过。当然还有一些同学,本身数学基础就不是很好,再加上大学本科没有开设数学课,导致在学习GMAT 数学的过程中遇到很多问题。下面,笔者将重点分析在GMAT 教学中发现的学生错误率比较大的一个知识点:离散概率(discrete probability)。希望考生在看完这篇文章之后,能够查漏补缺,更加重视GMAT 数学,力求在考试中数学部分取得满分的成绩。

首先,我们来看看官方指南中关于离散概率(discrete probability)的定义:

“Discrete probability is concerned with experiments that have a finite number of outcomes. Given such an experiment, an event is particular set of outcomes. For example, rolling a number cube with faces numbered 1 to 6(similar to a 6-sided dice) is an experiment with 6 possible outcomes: 1,2,3,4,5 or 6. One event in this experiment is that the outcome is 4, denoted{4};another event is that the outcome is an odd number{: 1,3,5}.即是说:离散概率考虑的是有限个数实验结果。例如这样一个实验,扔出一个立方体,立方体的各个面的数字分别是1 到6,将立方体朝上的数字记为一个事件,那么这是一个有6 个结果的实验,分别是1,2,3,4,5,6。如果某一次实验的结果是4,那么表示为{4};另外一个实验结果是扔出的数字是奇数,那么表示为{1,3,5}。

具体来说,如果用P(A) 表示时间A发生的概率,如果事件A 不可能发生,那么我们记为P(A)=0;如果事件A 必然发生,那么记为P(A)=1;另外,如果事件A 可能发生但不一定发生, 那么0 < P(A) < 1。如果B 是A 的一个子集, 则P(B) ≤ P(A)。在上面的例子中,6 中结果发生的概率是一样的,都是1/6,它们的概率是相等的。像这种独立实验中,

每一种结果概率相等的事件A 的概率计算公式为:

P(A)= 事件A 发生的数量/ 所有可能的结果的数量

在这个例子里面,结果为奇数的概率p={1,3,5}/6=3/6=1/2。除了以上的内容,还有一些概念需要掌握:非A,表示不在A 之内的结果的集合;A 或者B,表示为A ∪ B;A 和B, 表示为A ∩ B;P( 非A)=1-P(A);P(A ∪ B)=P(A)+P(B)-P(A ∩ B)。这里, 如果A 和B 是相互独立事件, 则有P(A ∩ B)=P(A)×P(B)。举个例子, 如果事件A 表示1 到6 的奇数,而事件B 表示1 到6 的质数(prime number) 那么P(A ∩ B)=P({3,5})=2/6=1/3。P(A ∪ B)=P(A)+P(B)-P(A ∩ B)=3/6+3/6-2/6=4/6=2/3。

另外如果A 和B 两个事件不可能同时发生(即A 和B 是互斥事件),则P(A ∪ B)=P(A)+P(B)。

如果A 和B 是两个独立事件,即是说一个事件的发生不影响另外一个事件的发生。例如在刚才的6 个数字当中,如果A={2,4,6}而B{5,6},则事件A 发生的概率是1/2。如果假设B 已经发生,那么A 发生的概率为(A ∩ B)/B=1/2;同样,如果假设A 已经发生,那么B 发生的概率为(B ∩ A)/A=1/3,这是条件概率的算法。

以上是官方指南要求我们掌握的关于离散概率的一些重要知识点,下面我们来分析官方指南上的一道题来具体运用这些定义和公式:

Xavier, Yvonne, and Zelda each try independently to solve a problem. If their individual probabilities for success are 1/4, 1/2 and 5/8, respectively, what is the probability that Xavier and Yvonne, but not Zelda, will solve the problem?

(A)11/8

(B)7/8

(C)9/64

(D)5/64

(E)3/64

题目翻译为:X, Y 和Z 没人独立地尝试去解决一个问题。如果他们成功的概率分别是1/4, 1/2, 5/8。那么X 和Y 能解决问题且Z 不能解决问题的概率是多少?

解析:首先题目里面的independently 一词表明X,Y,Z 这三人解决问题的三个事件是相互独立的事件,如果用X,Y,Z分别表示X,Y,Z 三人解决这个问题这个事件,那么这个题实际上是求三个独立事件即X,Y, 非Z 同时发生的概率,且非Z 的概率=1-Z 事件发生的概率。那么X,Y 能解决且Z不能解决的概率P(X ∩ Y ∩非Z)=1/4×1/2×(1-5/8)

=3/64。因此正确答案为E。

实际上,GMAT 考试中对于离散概率的考试题并不难,只要考生能够扎实掌握几种概率的定义并且能够区分出它们各自的用法,定能在GMAT 考试中轻松应对这类题型。在扎实掌握GMAT 考试数学中的所有知识点之后,加上一定量的练习,想取得GMAT 数学高分甚至是满分也不是难事。
看了上面的文章相信大家对GMAT考试如何提分已经有所顿悟,如想获取更多学习资料或想了解相关培训课程可拨打电话:400-618-0272

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